Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4

octahedron 4x4x4 octahedron 4x4x4

Octahedron 4x4x4, pro který se užívá i název Trajberův oktaedr 4x4x4, je hlavolam ve tvaru pravidelného osmistěnu. Vnitřní mechanismus dovoluje otáčet šesti vrcholy ve tvaru jehlanu, stejně jako třemi (resp. šesti) většími jehlany podél tří symetrál hlavolamu (tím se liší od podobně vypadajícího Trajberova oktaedru 3x3x3). Cílem je poskládat hlavolam do takové podoby, aby každou jeho stěnu tvořila právě jedna barva.

Na této stránce najdete:

  • Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - značení
  • Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení rohů
  • Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - vyřešení problému parity
  • Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení čtyř stěn vyjma středů
  • Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení zbylých stěn vyjma středů
  • Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení středů
  • Octahedron 4x4x4 II

Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - značení

octahedron 4x4x4
octahedron 4x4x4
octahedron 4x4x4

Několik poznámek ke značení: malá písmena představují tahy "menších jehlanů", větší písmena znázorňují pohyb "větších jehlanů". Pro přechod z malých na velké písmena je zapotřebí hlavolam jako celek pootočit o 45 stupňů doleva (kdo zná terminologii k Rubikově kostce, jedná se o ekvivalent k tahu y/2).

Při tahu, který je označen velkým písmenem, dochází vždy k přesunu "poloviny" hlavolamu. Proto ta část, která se při tahu U přesouvá, bude značena jako horní polovina hlavolamu. Analogicky ta část, která se při tahu U nepřesouvá, bude značena jako dolní polovina hlavolamu.

Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení rohů

Krok bude mít dvě základní fáze: v první složíme rohy v dolní polovině hlavolamu, ve druhé pak v horní polovině hlavolamu.

Intuitivně si poskládáme rohy v jedné stěně (tj. 3 rohové dílky o stejné barvě). To by měl zvládnout každý a navíc se seznámí s mechanismem hlavolamu. Tak, aby se nerozmíchaly již složené dílky, složte rohy i pro druhou stěnu. Dejte složené rohy obou stěn do dolní poloviny hlavolamu. Tak, aby se nerozmíchaly již složené dílky, složte rohy pro třetí stěnu. Umístěte složené rohy všech tří stěn do dolní poloviny hlavolamu. Složte rohy ve čtvrté stěně tak, abyste si nerozmíchaly rohy u předešlých tří stěn.

Po chvilce dumání a bádání byste měli dospět do stavu, kdy jsou složené všechny rohy u 4 libovolných stěn. Tyto 4 stěny dejte do dolní poloviny hlavolamu. Tím je první fáze tohoto kroku hotova.

Rohy v horní polovině hlavolamu budeme skládat tak, že z "malého jehlanu" otáčející se tahem u budeme přesouvat rohy na potřebná místa. Až tato místa budou složena, přejdeme na skládání rohů v "malém jehlanu" (otáčející se při tahu u).

Podíváme-li se na hlavolam shora, uvidíme něco takového, jako je nakresleno na následujícm obrázku. Tam jsou patrné dva fialové rohy (jeden z nich se nachází v "malém jehlanu" otáčející se při tahu u), čtyři šedé rohy u nichž na barvě pro tento okamžik nezáleží a 7 hnědých rohů, u kterých rovněž na barvě nezáleží. Pro jednoduchost předpokládejme, že 7 hnědých rohů je složeno, proto fialový roh z "malého jehlanu" musí přijít na místo šedého rohu (který není v "malém jehlanu").

octahedron 4x4x4

To provedeme tahy R u2' R' u' R u' R'. Prvními třemi tahy vkládáme skládaný roh do dolní poloviny hlavolamu (a roh z dolní poloviny hlavolamu do "malého jehlanu"). Čtvrtým tahem umožňujeme to, že po pátém tahu oba na oko rozmíchané rohy (skládaný roh a ten z dolní poloviny hlavolamu) jsou de facto opět složeny. Šestým a sedmým tahem vracíme zpět roh do dolní poloviny hlavolamu, stejně tak jako skládaný roh na potřebné místo. Může nastat i symetrická situace - viz další obrázek - kterou řešíme, kupodivu, symetricky.

octahedron 4x4x4

Tzn. tahy L' u2 L u L' u L. Tato intuitivní sekvence tahů má stejné opodstatnění, jaké je uvedeno v předešlém odstavci.

Pomocí uvedeného postupu je vždy možno složit všechny rohy až na ty, které jsou v "malém jehlanu". Pro to, abychom dosáhli stejného rozložení dílků jako je na předešlých dvou obrázcích, můžeme samozřejmě provádět tah/tahy u do té doby, než bude situace souhlasit s obrázkem. Pokud není skládaný roh v "malém jehlanu" (čili nejde použít navržený systém), jednoduše skládejte nějaký jiný roh (čímž se původně chtěný skládaný roh časem do "malého jehlanu" dostane).

Nyní dělejte tahy u tak dlouho, dokud nebudou složeny dva rohy v "malém jehlanu" (nebo dokud nebudou složeny všechny 4 rohy - v takovém případě budou složeny všechny rohy v rámci hlavolamu, můžete tedy přejít na další krok řešení). Dva nesložené rohy mohou být buď sousední nebo protilehlé.

octahedron 4x4x4

Pokud jsou sousední, umístěte je tak, jak je ukázáno na obrázku výše (nesložené rohy jsou pod čísly 1 a 2, hnědá barva znázornňuje složené dílky). Poté proveďte R2 u' R2 u R2 u d' R2 u R2 u' R2 d - tedy algoritmus, se kterým se můžeme mj. setkat při skládání Rubikovy kostky poslepu. Algoritmus je jen aplikovaný na osmistěn, takže místo velkých písmen U a D jsou použita malá.

Pakliže jsou dva nesložené rohy protilehlé, vykonejte algoritmus zmíněný v minulém odstavci (při jakémkoli rozmístění rohů v "malém jehlanu") a situace se převede na případ dvou sousedních rohů, viz výše.

Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - vyřešení problému parity

Teď jsou všechny rohy složené. Nicméně mohou být složené buď dobře nebo špatně. Zásluhu na tom má pouze jedna barva pro tři dílky v rámci jedné stěny. Jinými slovy řečeno, všechny 3 rohy v jedné stěně se nám zdají být identické. Jestli jsou rohy dobře nebo špatně složené nám řeknou středy.

octahedron 4x4x4

V levé polovině obrázku je patrný čelní pohled, pravá polovina obrázku znázorňuje pohled zespodu (ryze spodní projekce to není, ta by vypadala jako horní, tedy měla by půdorys čtverce... Nicméně snad je projekce přehledná). Cílem na obrázcích je přemístit zelený střed k zeleným rohům. To lze učinit třeba dvěma komutátory: l r' l' r; r l' r' l. Kromě složení zeleného středu však první komutátor složí i znázorněné středy v levé části obrázku a druhý komutátor složí označené středy v pravé části obrázku.

Tyto dva komutátory sice zkracují délku řešení, abychom však poskládali středy nám stačí znát pouze jeden z nich, např. ten první. Najdeme si totiž střed a rohy jedné barvy, a umístíme je dle obrázku výše (tedy rohy v horní polovině hlavolamu, střed v dolní polovině hlavolamu). Poté provedeme komutátor, a na původní místo zeleného středu (vztaženo na obrázek výše, pravá část) se dostane střed jiný. Pokud má stejnou barvu jako okolní rohy, jednoduše stěnu posuneme, např. tahem U. Tím se v horní polovině hlavolamu dostane do čelní pozice stěna s jiným středem (opět vztaženo na obrázek), takže zbývá do dolní poloviny hlavolamu umístit do čelní pozice stěnu s rohy stejné barvy. Poté stačí aplikovat první komutátor (l r' l' r) a budou složeny nejméně dva středy (tedy pokud si ovšem aplikováním algoritmu nerozmícháte již složený střed). Stejným způsobem složte i třetí střed a umístěte všechny stěny se složeným středem do dolní poloviny hlavolamu.

Stěnu s nesloženým středem v dolní polovině hlavolamu umístěte na čelní pozici a zároveň stěnu, kam střed patří, na čelní pozici v horní polovině hlavolamu. Opakujte komutátor (dojde ke složení středu), a tahem/tahy U dejte na čelní pozici příslušné rohy, jejichž barva souhlasí se středem stěny v dolní polovině hlavolamu na čelní pozici (pokud je to proveditelné).

Asi to popisuju moc složitě - je to určitě jednodušší než to vypadá. Věřím, že jste systém skládání středů pochopili. Ještě jednou zjednodušeně: složte si tři středy, umístěte je do jedné poloviny hlavolamu a čtvrtou stěnu v této polovině hlavolamu využijte ke složení co nejvíce zbylých středů. Kdo si troufá, může zkusit skládat více středů (minimálně 2, maximálně 4) najednou. Jak na to je zřejmé z obou částí obrázku výše.

Existují dvě možnosti - buď se vám podařilo středy složit všechny anebo jste narazili na problém parity a tak se vám nepodařilo složit jen dva středy.

Jestli chcete vyměnit dva středy, vyměňte nejprve dva identické rohy v jakékoliv stěně - využijte známý algoritmus R u2' R' u' R u' R' (stačí úplně na začátek vložit tah u2, protože tím se oba vyměňující se rohy dostanou do příslušné vzájemné konfigurace). Výměna těchto rohů má za následek i výměnu dvou rohů v "malém jehlanu". Ovšem i s tímto stavem jsme se již setkali - vyřešte ho s pomocí algoritmu R2 u' R2 u R2 u d' R2 u R2 u' R2 d (zprvu si samozřejmě musíte natočit hlavolam nebo alespoň "malý jehlan" do správné konfigurace). Tento algoritmus nemění jen dva rohy, ale krom jiného i dva středy. A to je to co potřebujeme, protože dvě dvojice vyměněných středů už vyřešit umíme. Kdo nevěří, může si to vyzkoušet (viz postup výše). Kdo věří (ostatně je to patrné z obou částí obrázku výše), ať to ani nezkouší.

Je tak trochu k vzteku, že po tomhle úsilí si středy hned v dalším kroku opět rozmícháme. Teď jsme si totiž jen tak nezávazně zkoušeli, jestli jsou rohy složeny dobře nebo špatně (což jsme předtím díky jejich povaze nemohli tušit). Nyní už máme jistotu, že jsou poskládány dobře, takže si skládání středů necháme až jako poslední krok řešení. Mimochodem, tam bychom mohli řešit problém parity taky, ale už ne tak jednoduše, příp. za použití nic neříkajícího (a dost možná až nehorázně dlouhého) speciálního algoritmu.

Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení čtyř stěn vyjma středů

Pod krkolomným názvem tohoto kroku se skrývá docela jednoduchá věc. Nejprve malá ilustrace.

octahedron 4x4x4
Obr. 1

Při pohledu na hlavolam zespod - obr. 1 - vidíme, že jsou složeny 4 stěny, přičemž na středech nezáleží (na barvě samotných stěn taktéž nezáleží - nemusíte skládat přesně podle toho, co vidíte na obrázku). Jak toho docílit?

octahedron 4x4x4

Nejprve si tahy popsanými velkými písmeny (tj. U, R, L atd.) umístěte hranu vůči rohům dle jednoho ze schémat výše. Pro levou část dojde ke složení za aplikace komutátoru l r' l' r, pravou část obrázku složíme komutátorem r' l r l' (podobně jako u středů z minulého kroku ale stačí ke složení znát jen jeden z nich, např. ten první - který je co do tahů stejný, jako pro skládání středů. Z obrázku vpravo se do obrázku vlevo dostaneme provedením l r' l' r. Dva komutátory jsou uvedeny proto, že použitím obou se zkracuje délka řešení).

Po složení jedné stěny vyjma středu vám nic nebrání složit další stěnu (opět bez středu). Musíte si jen dát pozor na to, abyste při vkládání hrany nerozmíchali již složené hrany - tzn. ujistěte se, že na pravé a levé stěně v horní polovině hlavolamu (při čelním pohledu) nemáte již složenou hranu. Po složení dvou stěn pokračujte ve třetí.

Čtvrtou stěnu je taktéž možné vždy poskládat - tři stěny jsou složené, čtvrtou skládáte, v páté se nachází potřebná hrana, šestou a sedmou (levou a pravou stěnu v horní polovině hlavolamu) potřebujete mít "volné" a tak vám zbývá ještě poslední stěna, kterou nevyužijete.

Čtyři složené stěny bez středů umístěte do dolní poloviny hlavolamu.

Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení zbylých stěn vyjma středů

Přichází na řadu nejtěžší část skládání, alespoň co se týče vysvětlování. Krok bude rozdělen do několika hlavních fází. V té první složíme dvě hrany, ještě předtím však několik slov k terminologii. Podívejte se na značení pro Rubikovu kostku, konkrétně na pojmy orientace, permutace, hrana a tah y.

Zatímco hrana v případě Rubikovy kostky je dvoubarevná a tyto dvě barvy jsou vzájemně fixní, hrana u hlavolamu Octahedron 4x4x4 může být rovněž dvoubarevná, jenže tyto dvě barvy vzájemně fixní nejsou. Proto je dobré zavést pojem "hranka", který označuje jednotlivou nálepku v rámci hrany. Je tak možné říct, že hrana u hlavolamu Octahedron 4x4x4 se skládá ze dvou hranek. Z právě napsaného mj. plyne, že v předchozím kroku jsme ve skutečnosti neskládali hrany, nýbrž 12 (příp. méně) hranek.

Pokud spodní polovina hlavolamu při pohledu zespod vypadá tak, jak je znázorněno na obr. 1, horní polovina hlavolamu může při pohledu shora vypadat třeba jako na následujícím obrázku.

octahedron 4x4x4

Jak již bylo řečeno, nejprve složíme dvě hrany (resp. 2 hrany ze 4 možných označených jako 1-4). Ty mohou být buď protilehlé nebo sousední. V návodu bude popsána ta situace, kdy se jedná o hrany protilehlé (nicméně druhá situace by se řešila analogicky).

Hrana pod číslem tři z výše uvedeného musí být červeno-zelená, přičemž červená hranka už se v hraně vyskytuje.

Pokud je v horní polovině hlavolamu zelená hranka na pozici 1, 2 nebo 4, stačí ji tahem/tahy U přesunout na pozici číslo 3. Tím dojde ke "spárování" červeno-zelené hrany. Tu pak vyměníme s nějakou vhodnou hranou (pokud možno nespárovanou) z horního "malého jehlanu" (např. tahy l' u' l), vrátíme dva zelené rohy na své původní místo (tahem/tahy U') a konečně vložíme správně orientovanou červeno-zelenou hranu na své místo (třeba za použití tahů l a u). Proveďte tah y2 a opakujte pro hranu č.4 (která se po tahu y2 stane č. 3). V souladu s obrázky výše se jedná o bílo-fialovou hranu, přičemž bílá hranka je již složená.

Jestliže není v horní polovině hlavolamu zelená hranka na pozici 1, 2 nebo 4, musíte ji tam zkrátka umístit. Např. kdyby se zelená hranka vyskytovala na pozici č. 5 tam, kam patří žlutá hranka, museli byste udělat r' u r. Tím by se hranka dostala na pozici číslo 1, takže byste mohli aplikovat postup zmíněný v minulém odstavci.

Při párování druhé hrany (na obrázcích bílo-fialová) postupujeme obdobně, jako při párování první hrany (červeno-zelená). Dále si hlavolam jako celek natočíme tak, aby složené hrany byly na pozicích 3 a 4. Pokud jsou složené i jiné hrany, zas tak moc to nevadí, protože si je v dalších fázích skládání patrně rozmícháme.

Jestli máte hrany na pozicích 3 a 4 složeny, skládejte hrany v "malém jehlanu" s využitím hran 1 a 2 - princip je totožný s 3. krokem návodu na Rubikovu kostku, akorát nyní máte k dispozici dvě pracující hrany namísto jedné a ani jedna pozice na místě pracující hrany nemusí být prozatím složena. Jaké hranky mají být párovány poznáte podle barev rohů v "malém jehlanu".

Ve většině případů budete potřebovat spárovat alespoň dvě hranky patřící na pozice 5-8, protože takový pár hranek, který byste potřebovali, zatím spárovaný není. A teď přijde rafinovaná část skládání.

Dejme tomu, že byste chtěli spárovat hranky tak, abyste mohli složit hranu na pozici 6 (na obrázku modro-fialovou). V takovém případě musíte modrou hranku umístit na pozici číslo 1 a fialovou hranku na pozici číslo 2 (nebo naopak) tak, aby po tahu U2 vznikla modro-fialová hrana (čili jedna hranka musí být v dolní polovině hlavolamu, zatímco druhá hranka v horní polovině hlavolamu). V tomto bodě (po zformování modro-fialové hrany) se může stát, že z horního "malého jehlanu" už nebude možné vyměnit za modro-fialovou hranu jinou hranu, protože všechny ostatní jsou v "malém jehlanu" dobře (vhodně) spárovány. No, pokud modro-fialová hrana vznikla na pozici 1, na pozici 2 je v horní polovině hlavolamu hranka o určité barvě (nebo naopak, pokud modro-fialová hrana vznikla na pozici č. 2 - jenže vždycky jde udělat tah y2, čímž požadovaná hrana může vzniknout na pozici č. 1). Pokud se stejná barva vyskytuje i v rámci horního "malého jehlanu", stačí hranu s onou barvou dostat na pozici 1 tak, aby se po tahu U2' dostala na pozici 2 (dojde tak k výměně hranek o stejné barvě, takže rozdílu si prozatím nevšimneme).

Jako na potvoru se však ona určitá barva v horním "malém jehlanu" vyskytovat nemusí, takže by po výměně hran v "malém jehlanu" a tahu U2' došlo k rozmíchání některých hranek. V takovém případě (a ten na rozdíl od způsobu zmíněného v minulém odstavci funguje vždy) je myšlenka následující: na pozici 1 i 2 v horní polovině hlavolamu dostat hrany o stejné barvě. Tahem U2' totiž dojde k výměně hranek o stejné barvě, takže si rozdílu prozatím nevšimneme. Tuto stejnou barvu nám poskytnou 2 hrany nacházející se v horním "malém jehlanu".

Tímto postupem spárujte všechny hranky - nejprve na pozicích 5-8, poté i na pozicích 1 a 2. Spárované hranky tvořící hrany zatím nemusejí být správně permutované ani orientované. Jde ale o to, aby byly spárovány všechny hranky, tedy o to, aby existovaly všechny správné hrany, které do hlavolamu patří.

Po spárování všech hranek tvořící správné hrany si složte hranu na pozici 1 (nebo 2) a pomocí pozice 2 (nebo 1) složte co nejvíce hran v "malém jehlanu". Inspiraci můžete hledat v 3. kroku návodu na Rubikovu kostku, viz odkaz výše. "Malý jehlan" nemusí nutně být složen kompletní. Jestliže není potřeba orientovat jen jednu hranu, pak je důležité, aby obě nesložené hrany byly v té stěně, jejíž barva je shodná s barvou hranek, které mají 2 nesložené hrany společnou. To je možné zařidit vždy. Jo, nedá se to pochopit, tak to raději nakreslím.

Orientace dvou hran

Použijte komutátory, např. pro situaci znázorněnou na dolním obrázku udělejte r' l r l' u l' u' l.

octahedron 4x4x4

Kdo umí složit Rubikovu kostku 4x4x4 metodou vrstva po vrstvě, ví, že v průběhu řešení může narazit na problém parity. K něčemu obdobnému dochází i u hlavolamu Octahedron 4x4x4, přičemž nesložené hrany lze roztřídit takto:

  • orientace jedné hrany
  • permutace dvou hran
  • orientace dvou hran + permutace dvou hran
  • orientace jedné hrany + permutace dvou hran

Orientace jedné hrany

octahedron 4x4x4

Natočte si hlavolam tak, aby špatně orientovaná hrana byla na pozici č. 1 (viz předminulý obrázek). V dolní polovině hlavolamu se musí nacházet na pozici č. 1 barva, kterou lze nalézt i u hran v horní polovině hlavolamu (když se nenachází, hlavolam otočte o 180 stupňů směrem k sobě). Hranu (1 ze 2 možných) s touto barvou přesuňte na pozici č. 2 (tak, že hranu z pozice 2 přesunete do "malého jehlanu") tak, aby po tahu U2 měla hrana na pozici 1 jen jednu barvu. Orientujte opačně jednobarevnou hranu na pozici č. 1 (např. komutátory y r u r' u' l' u l u' y') - tím dojde mj. k výměně dvou hranek, což je vlastně efekt, kterého jsme chtěli dosáhnout. Proveďte U2', složte hranu na pozici 2 a pomocí hrany 1 složte i hrany v "malém jehlanu". Pokud nedojde ke složení hran, hledejte řešení situace, která vám na hlavolamu vznikla.

Permutace dvou hran

octahedron 4x4x4

Z konfigurace hran jako na obrázku proveďte R' U' R a situace se převede na případ jedné neorientované hrany - viz výše.

Orientace dvou hran + permutace dvou hran

octahedron 4x4x4

Nejdříve hrany orientujte (viz výše), následně je permutujte (viz výše).

Orientace jedné hrany + permutace dvou hran

octahedron 4x4x4

Hlavolam si natočte tak, aby špatně orientovaná hrana byla na pozici č. 1. Poté aplikujte postup zmíněný u případu, kdy potřebujete orientovat jednu hranu a situace se převede na případ řešený výše.

Konečně by měly být složeny všechny hrany, zbývají tak už jen středy.

Octahedron 4x4x4 / Trajberův oktaedr 4x4x4 - složení středů

Středy už jsme v průběhu skládání jednou skládali (viz výše). Teď si to zopakujeme, akorát s malou úpravou. Ačkoli použijeme stejné komutátory jako ve druhém kroku, nebudeme je provádět jednou, ale 3x za sebou.

Důvod je jednoduchý: komutátory zmíněné výše jsou dvojcykly z hlediska středů a trojcykly z pohledu hran. To znamená, že po provedení 3x za sebou zůstanou hrany nezměněny, dojde jen k přesunu některých středů. To je přesně to, co potřebujeme, abychom poskládali celý hlavolam.

Pakliže nejste spokojeni s barevným schématem, můžete vyměnit dvě stěny (pravou a zadní) v horní polovině hlavolamu. Kdo hádal, že přitom využijeme algoritmus zmíněný na stránce o skládání poslepu, hádal správně. Na rozdíl od skládání rohů v prvním kroku návodu má však tvar R2 U' R2 U R2 U D' R2 U R2 U' R2 D.

Octahedron 4x4x4 II

Tvarovou modifikací hlavolamu Octahedron 4x4x4 je tzv. Octahedron 4x4x4 II, viz obrázky níže.

octahedron 4x4x4 octahedron 4x4x4

Můžeme vidět, že jediný rozdíl mezi oběma hlavolamy je v tom, že Octahedron 4x4x4 II je seřízlý a to vždy mezi dvěma sousedními vrcholy původního pravidelného osmistěnu. Jak značení, tak postup skládání ale zůstavá stejný jako pro Octahedron 4x4x4 (viz začátek stránky).



Graficky stránku obohatil Paul Smet.
Děkuji Jardovi Flejberkovi za laskavé zapůjčení hlavolamů Octahedron 4x4x4 a Octahedron 4x4x4 II, díky čemuž mohl vzniknout tento návod.

REKLAMA:
„Bůh stvořil člověka, když ho přestaly bavit opice. Na další pokusy už pak neměl nervy.“ Mark Twain